Zadanie 11, czerwiec 2022: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż równanie $\cos(3x) + \sqrt{3} \sin(3x) + 1 = 0$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

w przedziale

\langle0, \pi\rangle

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$x=\frac{\pi}{3}$ lub $x=\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{9}$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie równania w postaci $\frac{1}{2}\cos(3x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(3x)=-\frac{1}{2}$

Komentarz

Należy pamiętać o odrzuceniu rozwiązań obcych przy zastosowaniu metody analizy starożytnych (podnoszenia do kwadratu). Jeśli zdający popełni tylko błąd w przepisywaniu wzoru trygonometrycznego ale konsekwentnie doprowadzirozwiązanie do końca, może otrzymać 2 punkty.

Umiejętności w zadaniu

Dzielimy obie strony równania przez 2: $\frac{1}{2}\cos(3x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(3x)=-\frac{1}{2}$ .

Zapisując $\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}$ i $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}$ , stosujemy wzór na sinus sumy: $\sin(\frac{\pi}{6}+3x)=-\frac{1}{2}$ .

Rozwiązując: $\frac{\pi}{6}+3x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k$ lub $\frac{\pi}{6}+3x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$ .

Stąd $x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3}$ lub $x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}$ .

Dla przedziału $\langle0,\pi\rangle$ : $x=\frac{\pi}{3}$ (dla $k=0$ ), $x=\pi$ (dla $k=1$ z pierwszej serii), $x=\frac{5\pi}{9}$ (dla $k=2$ z drugiej serii).

lub zastosowanie alternatywnej metody.

2 pkt

zapisanie równania elementarnego $\sin(\frac{\pi}{6}+3x)=-\frac{1}{2}$ (lub równoważnego $\cos(3x-\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}$ ).

3 pkt

zapisanie obu serii rozwiązań ogólnych bez ograniczenia do przedziału albo wyznaczenie jednego poprawnego rozwiązania w przedziale.

4 pkt

pełne rozwiązanie z trzema poprawnym rozwiązaniami w przedziale $\langle0,\pi\rangle$ .