wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych
Matematyka Specimen 2023 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Dane są liczby a = log 2 3 a=\log_2 3 a = log 2 3 oraz b = log 3 7 b=\log_3 7 b = log 3 7 . Wyraź log 4 49 \log_4 49 log 4 49 za pomocą liczb a a a oraz b b b . Zapisz obliczenia.
Matematyka Specimen 2023 3 pkt otwarte średnie (szac.)
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą podzielną przez 36.
Matematyka Czerwiec 2022 3 pkt otwarte średnie (szac.)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x x x i dla każdej liczby rzeczywistej y y y takich, że x ≠ y x\neq y x = y , spełniona jest nierówność x 4 + y 4 > x y ( x 2 + y 2 ) x^4 + y^4 > xy(x^2 + y^2) x 4 + y 4 > x y ( x 2 + y 2 )
Matematyka Dodatkowa 2020 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Wyrażenie 1 3 + 2 1 + 2 \frac{1}{3 + \frac{2}{1 + \sqrt{2}}} 3 + 1 + 2 2 1 jest równe A. 3 + 2 2 − 1 3 + 2\sqrt{2} - 1 3 + 2 2 − 1 B. 2 2 + 6 − 4 2\sqrt{2} + 6 - 4 2 2 + 6 − 4 C. 1 4 \frac{1}{4} 4 1 D. 3 + 2 2 6 − 1 \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6} - 1 6 3 + 2 2 − 1
Matematyka Dodatkowa 2020 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego ( a n ) (a_n) ( a n ) , określonego dla n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1 , jest równa 2 2 2 , a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3 3 3 . Oblicz iloraz ciągu ( a n ) (a_n) ( a n ) . W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej –…
Matematyka Maj 2018 1 pkt zamknięte łatwe 72%
Dane są liczby: a = 8 4 2 a = \frac{\sqrt[4]{8}}{2} a = 2 4 8 , b = 1 2 8 4 b = \frac{1}{2\sqrt[4]{8}} b = 2 4 8 1 , c = 8 4 c = \sqrt[4]{8} c = 4 8 , d = 2 8 4 d = 2^{\sqrt[4]{8}} d = 2 4 8 oraz k = 2 − 1 k = 2^{-1} k = 2 − 1 . Prawdziwa jest równość A. a = k a = k a = k B. b = k b = k b = k C. c = k c = k c = k D. d = k d = k d = k
Matematyka Maj 2018 1 pkt zamknięte łatwe 76%
Wartość wyrażenia 2 log 5 10 − log 5 20 − 1 log 5 2 2\log_5 10 - \log_5 20 - \frac{1}{\log_5 2} 2 log 5 10 − log 5 20 − l o g 5 2 1 jest równa A. − 1 -1 − 1 B. 0 0 0 C. 1 1 1 D. 2 2 2
Matematyka Maj 2018 6 pkt obliczeniowe trudne 37%
Wyznacz wszystkie wartości parametru m m m , dla których równanie ( m + 1 ) x 2 + ( m + 1 ) x + 1 − m = 0 (m + 1)x^2 + (m + 1)x + 1 - m = 0 ( m + 1 ) x 2 + ( m + 1 ) x + 1 − m = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x 1 x_1 x 1 i x 2 x_2 x 2 ( x 1 ≠ x 2 x_1 \ne x_2 x 1 = x 2 ), spełniające warunek x 1 3 + x 2 3 x 1 x 2 > − 7 \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1 x_2} > -7 x 1 x 2 x 1 3 + x 2 3 > − 7 .
Matematyka Czerwiec 2018 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Liczba ( 2 − 1 ) 2 + ( 2 − 2 ) 2 (\sqrt{2} - 1)^2 + (2 - \sqrt{2})^2 ( 2 − 1 ) 2 + ( 2 − 2 ) 2 jest równa A. 1 1 1 B. − 1 -1 − 1 C. 3 − 2 2 3 - 2\sqrt{2} 3 − 2 2 D. 2 2 + 1 2\sqrt{2} + 1 2 2 + 1
Matematyka Czerwiec 2018 3 pkt otwarte średnie (szac.)
Wykaż, że równanie x 8 + 2 x 4 = ( x 2 + 1 ) 4 − 2 x x^8 + 2x^4 = (x^2 + 1)^4 - 2x x 8 + 2 x 4 = ( x 2 + 1 ) 4 − 2 x ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1 x = 1 x = 1 .
Matematyka Maj 2017 1 pkt zamknięte średnie 62%
Liczba ( 2 + 3 − 2 − 3 ) 2 \left(\sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2 ( 2 + 3 − 2 − 3 ) 2 jest równa A. 2 2 2 B. 4 4 4 C. 3 \sqrt{3} 3 D. 2 3 2\sqrt{3} 2 3
Matematyka Maj 2017 3 pkt otwarte trudne 26%
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x 2 y 2 + x 2 + y 2 − 8 x y + 4 > 0 x^2y^2 + x^2 + y^2 - 8xy + 4 > 0 x 2 y 2 + x 2 + y 2 − 8 x y + 4 > 0 .
Matematyka Czerwiec 2016 4 pkt otwarte średnie (szac.)
Wykaż, że dla a , b , c , d > 0 a, b, c, d > 0 a , b , c , d > 0 prawdziwa jest nierówność a b + c d ≥ a + c b + d \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \geq \frac{a + c}{b + d} b a + d c ≥ b + d a + c .
Matematyka Specimen 2015 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Oblicz log 3 27 4 − log 3 ( log 3 3 3 3 ) \log_3 \sqrt[4]{27} - \log_3 \left(\log_3 \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}\right) log 3 4 27 − log 3 ( log 3 3 3 3 ) . Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.