Sposób 1:

Sumę sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 można zapisać w postaci $(a-1)^3 + a^3 + (a+1)^3$, gdzie $a$ jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4.

$(a-1)^3 + a^3 + (a+1)^3 = 3a(a^2 + 2)$

Liczba $3a(a^2 + 2)$ jest podzielna przez 4 jako iloczyn liczby parzystej $3a$ i liczby parzystej $a^2 + 2$

Jeśli $a = 3k$, to $3a(a^2 + 2) = 9k(9k^2 + 2)$

Jeśli $a = 3k + 1$, to $3a(a^2 + 2) = 3(3k+1)(9k^2 + 6k + 3) = 9(3k+1)(3k^2 + 2k + 1)$

Jeśli $a = 3k + 2$, to $3a(a^2 + 2) = 3(3k+2)(9k^2 + 12k + 6) = 9(3k+2)(3k^2 + 4k + 2)$

Zatem suma jest podzielna przez 4 i przez 9, a ponieważ $\gcd(4,9) = 1$, suma jest podzielna przez 36.

Sposób 2:

Sumę można zapisać w postaci $(4k+1)^3 + (4k+2)^3 + (4k+3)^3$

$(4k+1)^3 + (4k+2)^3 + (4k+3)^3 = 192k^3 + 288k^2 + 168k + 36 = 36(5k^3 + 8k^2 + 4k + 1) + 12k(k^2 + 2)$

Wystarczy pokazać, że liczba $k(k^2 + 2)$ jest podzielna przez 3 dla każdego $k \in \mathbb{Z}$. Uwzględniając przypadki $k \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$