Zadanie 3, specimen 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_n)

jest równa 7, a suma

S

wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.

Wyznacz wszystkie wartości $n$ , dla których spełniona jest nierówność

$\left|\frac{S - S_n}{S_n}\right| < 0{,}001$

gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ .

Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$n > 9$ (wszystkie liczby naturalne większe od 9)

Ponieważ suma wszystkich wyrazów ciągu istnieje i jest różna od zera, to $|q| < 1$ .

Korzystamy ze wzorów na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz na sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i obliczamy iloraz $q$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawna metoda wyznaczenia ilorazu ciągu i poprawna metoda rozwiązania nierówności $\left|\frac{S - S_n}{S_n}\right| < 0{,}001$

Komentarz

Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania.

Umiejętności w zadaniu

Ciąg arytmetyczny – wzory Ćwicz podobne

ciągu

(a_n)

:

$a_1 + a_2 + a_3 = a_1 \cdot \frac{1-q^3}{1-q} = S \cdot (1-q^3)$

$7 = 8(1-q^3)$

$q = \frac{1}{2}$

Zatem $S = 2a_1$ i $S_n = 2a_1 \cdot [1 - (\frac{1}{2})^n]$ .

$\frac{S - S_n}{S_n} = \frac{(\frac{1}{2})^n}{1 - (\frac{1}{2})^n}$

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{(\frac{1}{2})^n}{1 - (\frac{1}{2})^n} < 0{,}001$

$(\frac{1}{2})^n < 0{,}001 [1 - (\frac{1}{2})^n]$

$1 < 0{,}001(2^n - 1)$

$2^n > 1001$

Ponieważ $2^9 = 512$ i $2^{10} = 1024$ , to $n > 9$ .

w zbiorze liczb naturalnych dodatnich oraz poprawny wynik:

n > 9

.

3 pkt

zapisanie, że $1 - q^n > 0$ i przekształcenie nierówności $\left|\frac{S - S_n}{S_n}\right| < 0{,}001$ do postaci nierówności wymiernej z niewiadomą $t$ (gdzie $t = q^n$ ), np. $\frac{t}{1-t} < 0{,}001$ .

2 pkt

obliczenie ilorazu $q$ ciągu $(a_n)$ : $q = \frac{1}{2}$ .

1 pkt

skorzystanie ze wzorów na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i zapisanie równania $a_1 + a_2 + a_3 = S \cdot (1 - q^3)$ lub dwóch równań z niewiadomymi $a_1$ oraz $q$ .