Matura z matematyki, arkusz pokazowy CKE 2023

MatematykaSpecimen 20233 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 1

Dane są liczby $a=\log_2 3$ oraz $b=\log_3 7$. Wyraź $\log_4 49$ za pomocą liczb $a$ oraz $b$. Zapisz obliczenia.

MatematykaSpecimen 20233 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{x^2+3}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 1$. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P = (-3, -3)$. Zapisz obliczenia.

MatematykaSpecimen 20234 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 3

Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność $\left|\frac{S - S_n}{S_n}\right| < 0{,}001$ gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

MatematykaSpecimen 20235 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 4

Dane jest równanie $(x-6) \cdot [(m-2)x^2 - 4(m+3)x + m+1] = 0$ z niewiadomą $x$ i parametrem $m \in \mathbb{R}$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku. Zapisz obliczenia.

MatematykaSpecimen 20233 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 5

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą podzielną przez 36.

MatematykaSpecimen 20232 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 6.1

Wykaż, że odległość punktu $R$ od punktu $P$ wyraża się wzorem $|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}$ gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

• Materiał graficzny

MatematykaSpecimen 20236 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 6.2

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu $K$, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca $K$ toru od początku $P$) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.…

• Materiał graficzny

MatematykaSpecimen 20234 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7

Rozwiąż równanie $\sin(3x) = 2\sin x$ w zbiorze $[0, \pi]$. Zapisz obliczenia.

MatematykaSpecimen 20234 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 8

Wykaż, że promień $R$ okręgu opisanego na trapezie $ABCD$ jest równy $R = \frac{d \cdot l}{2\sqrt{16d^2 - l^2}}$

• Materiał graficzny

MatematykaSpecimen 20236 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki $B$ i $C$ tego trójkąta z okręgiem $\mathcal{O}$. Zapisz obliczenia.

MatematykaSpecimen 20236 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10

Oblicz współczynnik $k$. Zapisz obliczenia.

MatematykaSpecimen 20234 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin. Zapisz obliczenia.