Zadanie 10, specimen 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i polu powierzchni bocznej równym

P

. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka

S

ma miarę

2\alpha

.

Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k \cdot P^3 \cdot \sin \alpha \cdot \cos(2\alpha)}$ , gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik $k$ .

Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$k = \frac{\sqrt{2}}{36}$ \n\nRozwiązanie (Sposób 1 – wybór konkretnych wartości):\nPonieważ k nie zależy od P ani α, wybieramy P = √2 i α = 30°.\nZa 4 ścianach bocznych mamy:

Schemat punktowania

6 pkt

poprawne zastosowanie wzoru na objętość i poprawne obliczenie współczynnika k = √2/36.\n5 pkt – obliczenie wysokości H ostrosłupa przy obranych wartościach P i α.\n4 pkt – obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy oraz kwadratu wysokości ściany bocznej.\n3 pkt – obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy LUB kwadratu wysokości ściany bocznej.\n2 pkt – zastosowanie definicji sinusa lub tw. cosinusów i zapisanie równania z jedną niewiadomą.\n1 pkt – przypisanie konkretnych wartości P i α oraz wyznaczenie h lub a w zależności od drugiej zmiennej.

Komentarz

Zadanie dopuszcza dwie strategie: wybór konkretnych wartości P i α (spełniających warunki P > 0, α ∈ (0°, 45°)) lub operowanie formą ogólną. Obie dają wynik k = √2/36.

Umiejętności w zadaniu

P = 4 · \frac{1}{2}ah

, stąd

h = \frac{\sqrt{2}}{2a}

\nDla α = 30°, trójkąt równoramienny ESF jest równoboczny, więc

h = \frac{a\sqrt{2}}{2}

\nStąd:

a = 1

,

h^2 = \frac{1}{2}

\nZ tw. Pitagorasa:

H^2 = h^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

, więc

H = \frac{1}{2}

\nObjętość:

V = \frac{1}{3}a^2H = \frac{1}{3} · 1 · \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

\nZ warunku:

V = \sqrt{k · (\sqrt{2})^3 · \frac{1}{2} · \frac{1}{2}} = \sqrt{k · \sqrt{2}/2}

\nPorównując:

\frac{1}{6} = \sqrt{k · \sqrt{2}/2}

\n

k = \frac{\sqrt{2}}{36}

\n\nRozwiązanie (Sposób 2 – forma ogólna):\n

h = \frac{P}{2a}

,

a^2 = \sqrt{2}P \sin \alpha

,

h^2 = \frac{P}{4\sqrt{2}\sin\alpha}

\n

H^2 = \frac{P(1-2\sin^2\alpha)}{4\sqrt{2}\sin\alpha} = \frac{P\cos(2\alpha)}{4\sqrt{2}\sin\alpha}

\n

V = \frac{1}{3}a^2H = \frac{1}{3}\sqrt{2}P\sin\alpha · \frac{\sqrt{P\cos(2\alpha)}}{4\sqrt{2}\sin\alpha} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{36}·P^3·\sin\alpha·\cos(2\alpha)}