Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

z niewiadomą $x$ i parametrem $m \in \mathbb{R}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Zapisz obliczenia.

Jednym z rozwiązań równania jest liczba 6. Równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku wtedy i tylko wtedy, gdy równanie $(m-2)x^2 - 4(m+3)x + m+1 = 0$ ma dokładnie dwa różne rozwiązania dodatnie $x_1, x_2$ takie, że $x_1 \neq 6$ i $x_2 \neq 6$.

Dla $m = 2$ równanie przyjmuje postać $-20x + 3 = 0$ i ma tylko jedno rozwiązanie.

Warunki konieczne i dostateczne:

(W1) $m - 2 \neq 0$

(W2) $\Delta > 0$: $m \in (-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (-2, +\infty)$

(W3) $x_1 \cdot x_2 > 0$ (ze wzorów Viete'a): $m \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$

(W4) $x_1 + x_2 > 0$ (ze wzorów Viete'a): $m \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$

(W5) $(m-2) \cdot 36 - 4(m+3) \cdot 6 + m + 1 \neq 0$: $m \neq 11$

Część wspólna: $m \in (-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, +\infty)$