Zadanie 7, specimen 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż równanie

$\sin(3x) = 2\sin x$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

w zbiorze $[0, \pi]$ .

Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów i wzorów na cosinus i sinus podwojonego kąta oraz jedynki trygonometrycznej.

$\sin(3x) = \sin(2x + x) = \sin(2x)\cos x + \cos(2x)\sin x = 2\sin x \cos^2 x + (\cos^2 x - \sin^2 x)\sin x = 2\sin x(1 - \sin^2 x) + (1 - 2\sin^2 x)\sin x = 2\sin x$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawne rozwiązanie równania $\sin(3x) = 2\sin x$ w zbiorze $[0, \pi]$ : $x = 0$

Umiejętności w zadaniu

Uproszczenie do: $-4\sin^3 x + \sin x = 0$

Rozkład: $(−4\sin^2 x + 1)\sin x = 0$

Alternatywa: $\sin x = \frac{1}{2}$ LUB $\sin x = -\frac{1}{2}$ LUB $\sin x = 0$

Rozwiązania w $[0, \pi]$ : $\sin x = \frac{1}{2}$ daje $x = \frac{\pi}{6}$ , $x = \frac{5\pi}{6}$ ; $\sin x = -\frac{1}{2}$ brak rozwiązań w $[0, \pi]$ ; $\sin x = 0$ daje $x = 0$ , $x = \pi$ .

Odpowiedź: $x = 0$ LUB $x = \frac{\pi}{6}$ LUB $x = \frac{5\pi}{6}$ LUB $x = \pi$ .

∨

x = \frac{\pi}{6}

∨

x = \frac{5\pi}{6}

∨

x = \pi

.

3 pkt

przekształcenie równoważne równania $\sin(3x) = 2\sin x$ do postaci alternatywy równań $\sin x = \frac{1}{2}$ , $\sin x = -\frac{1}{2}$ oraz $\sin x = 0$ i zapisanie, że równanie $\sin x = -\frac{1}{2}$ nie ma rozwiązań w zbiorze $[0, \pi]$ , i rozwiązanie równania $\sin x = \frac{1}{2}$ (lub $\sin x = 0$ ) w zbiorze $[0, \pi]$ : $x = \frac{\pi}{6}$ ∨ $x = \frac{5\pi}{6}$ (lub $x = 0$ ∨ $x = \pi$ ).

2 pkt

przekształcenie równoważne równania $\sin(3x) = 2\sin x$ do postaci alternatywy dwóch równań: $1 - 4\sin^2 x = 0$ lub $\sin x = 0$ .

1 pkt

przekształcenie równania $\sin(3x) = 2\sin x$ do postaci, w której występuje jedna funkcja trygonometryczna zmiennej $x$ , np. $2\sin x(1 - \sin^2 x) + (1 - 2\sin^2 x)\sin x = 2\sin x$ .