Prawdopodobieństwo zaliczenia egzaminu: $P = \frac{123841}{4^{15}} = \frac{123841}{1073741824} \approx 0{,}00012$\n\nRozwiązanie:\nProba Bernoullego: losowy wybór odpowiedzi w zadaniu.\nSukces: wybór odpowiedzi poprawnej.\nPrawdopodobieństwo sukcesu: $p = 0{,}25 = \frac{1}{4}$\nPrawdopodobieństwo porażki: $q = 0{,}75 = \frac{3}{4}$\n\nNiech $S_{15}^k$ oznacza zdarzenie: dokładnie k poprawnych odpowiedzi spośród 15.\nZaliczenie: $P(S_{15}^{11} \cup S_{15}^{12} \cup S_{15}^{13} \cup S_{15}^{14} \cup S_{15}^{15})$\n\nZdarzenia są parami rozłączne, więc:\n$P = \sum_{k=11}^{15} \binom{15}{k}(0{,}25)^k(0{,}75)^{15-k}$\n$= \binom{15}{11}(\frac{1}{4})^{11}(\frac{3}{4})^4 + \binom{15}{12}(\frac{1}{4})^{12}(\frac{3}{4})^3 + \binom{15}{13}(\frac{1}{4})^{13}(\frac{3}{4})^2 + \binom{15}{14}(\frac{1}{4})^{14}(\frac{3}{4})^1 + \binom{15}{15}(\frac{1}{4})^{15}$\n$= (\frac{1}{4})^{15}(1365 · 81 + 455 · 27 + 105 · 9 + 15 · 3 + 1)$\n$= (\frac{1}{4})^{15} · 123841 = \frac{123841}{4^{15}}$