Zadanie 8, specimen 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o obwodzie $l$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i podstawach

AB

oraz

CD

takich, że

|AB| > |CD|

. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna

AC

trapezu ma długość

d

(zobacz rysunek).

Wykaż, że promień $R$ okręgu opisanego na trapezie $ABCD$ jest równy

$R = \frac{d \cdot l}{2\sqrt{16d^2 - l^2}}$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Oznaczenie: $a$ – długość podstawy $AB$ , $b$ – długość podstawy $CD$ , $h$ – wysokość trapezu, $c$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawne zastosowanie twierdzeń i zależności prowadzących do obliczenia promienia $R$ okręgu opisanego na trapezie $ABCD$ i pokazanie, że $R = \frac{d \cdot l}{2\sqrt{16d^2 - l^2}}$

Umiejętności w zadaniu

– długość ramienia,

\alpha

– miara kąta

ABC

,

E

– punkt wspólny prostej przechodzącej przez

C

i zawierającej wysokość trapezu oraz odcinka

AB

.

Z równoramienności trapezu: $|EB| = \frac{a-b}{2}$ oraz $|AE| = \frac{a+b}{2}$ .

Z własności czworokąta opisanego na okręgu: $a + b = 2c$ .

Z warunku obwodu: $a + b + 2c = l$ , stąd $4c = l$ , czyli $c = \frac{l}{4}$ .

Zatem $|AE| = \frac{a+b}{2} = c$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $AEC$ : $c^2 + h^2 = d^2$ , stąd $h^2 = d^2 - \frac{l^2}{16}$ , więc $h = \frac{\sqrt{16d^2 - l^2}}{4}$ .

Z trójkąta prostokątnego $BEC$ : $\sin \alpha = \frac{h}{c} = \frac{\sqrt{16d^2 - l^2}}{l}$ .

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta $ABC$ : $2R = \frac{d}{\sin \alpha}$ .

Zatem $R = \frac{d}{2\sin \alpha} = \frac{d \cdot l}{2\sqrt{16d^2 - l^2}}$ .

.

3 pkt

zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta $ABC$ i zapisanie równości $2R = \frac{d}{\sin \alpha}$ .

2 pkt

obliczenie wysokości $h$ trapezu $ABCD$ : $h = \frac{\sqrt{16d^2 - l^2}}{4}$ .

1 pkt

zastosowanie własności czworokąta opisanego na okręgu i obliczenie $c$ : $c = \frac{l}{4}$ LUB zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkąta $AEC$ i zapisanie równości $(\frac{a+b}{2})^2 + h^2 = d^2$ .