Zadanie 6.2, specimen 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu $K$ , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca $K$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

toru od początku

P

) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

$|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}$

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Wyznaczenie pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji $f$ i $g$ : $x = \frac{1-\sqrt{94}}{6}$

Schemat punktowania

6 pkt

uzasadnienie, że punkt $K$ musi należeć do wykresu funkcji $g$ i poprawne uzasadnienie, że funkcja $d$ przyjmuje wartość największą dla argumentu $x = \frac{3}{2}$

Umiejętności w zadaniu

oraz

x = \frac{1+\sqrt{94}}{6}

.

Zdefiniowanie funkcji pomocniczej $k(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}$ dla $x \in [\frac{1-\sqrt{94}}{6}, \frac{1+\sqrt{94}}{6}]$ .

Obliczenie pochodnej: $k'(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{13}{4}x + \frac{39}{8}$ .

Wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej: $(4x^2 - 13)(2x - 3) = 0$ , stąd $x = -\frac{\sqrt{13}}{2}$ , $x = \frac{\sqrt{13}}{2}$ , $x = \frac{3}{2}$ .

Sprawdzenie, że tylko $x = \frac{3}{2}$ należy do przedziału dziedziny.

Wykazanie, że funkcja $k$ (a zatem i $d$ ) osiąga wartość największą dla $x = \frac{3}{2}$ .

Obliczenie $g(\frac{3}{2}) = \frac{7}{2}$ , więc $K = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ .

Obliczenie $|PK| = d(\frac{3}{2}) = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ .

, obliczenie współrzędnych punktu

K

oraz długości

|PK|

toru:

K = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})

,

|PK| = \frac{5\sqrt{2}}{2}

.

5 pkt

uzasadnienie, że punkt $K$ musi należeć do wykresu funkcji $g$ i uzasadnienie, że funkcja $k$ przyjmuje wartość największą dla argumentu $x = \frac{3}{2}$ LUB poprawne uzasadnienie, że funkcja $d$ przyjmuje wartość największą dla argumentu $x = \frac{3}{2}$ oraz obliczenie $g(\frac{3}{2})$ oraz obliczenie $d(\frac{3}{2})$ : $g(\frac{3}{2}) = \frac{7}{2}$ , $d(\frac{3}{2}) = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ .

4 pkt

uzasadnienie, że punkt $K$ musi należeć do wykresu funkcji $g$ i obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji $k$ : $x = \frac{3}{2}$ LUB uzasadnienie, że funkcja $k$ przyjmuje wartość największą dla argumentu $x = \frac{3}{2}$ .

3 pkt

uzasadnienie, że punkt $K$ musi należeć do wykresu funkcji $g$ i wyznaczenie pochodnej funkcji $k$ : $k'(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{13}{4}x + \frac{39}{8}$ dla $x \in [\frac{1-\sqrt{94}}{6}, \frac{1+\sqrt{94}}{6}]$ LUB obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji $k$ : $x = \frac{3}{2}$ .

2 pkt

uzasadnienie, że punkt $K$ musi należeć do wykresu funkcji $g$ i określenie dziedziny funkcji $d$ : $x \in [\frac{1-\sqrt{94}}{6}, \frac{1+\sqrt{94}}{6}]$ LUB wyznaczenie pochodnej funkcji $k$ : $k'(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{13}{4}x + \frac{39}{8}$ dla $x \in [\frac{1-\sqrt{94}}{6}, \frac{1+\sqrt{94}}{6}]$ .

1 pkt

uzasadnienie, że punkt $K$ musi należeć do wykresu funkcji $g$ LUB określenie dziedziny funkcji $d$ : $x \in [\frac{1-\sqrt{94}}{6}, \frac{1+\sqrt{94}}{6}]$ .