Zadanie 6.1, specimen 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji $f$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

oraz

g

(zobacz rysunek).

Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x) = x^2$ oraz $g(x) = -\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + 4$ .

Poczatek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P = (-1, 1)$ .

Niech $R$ będzie punktem leżącym na wykresie funkcji $g$ .

Wykaż, że odległość punktu $R$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

$|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}$

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przyjęcie $R = (x, -0.5(x-0.5)^2 + 4)$ i zastosowanie wzoru na odległość dwóch punktów:

$|PR| = \sqrt{(x+1)^2 + (-0.5(x-0.5)^2 + 4 - 1)^2}$

Schemat punktowania

2 pkt

doprowadzenie wyrażenia określającego długość odcinka $PR$ do postaci $\sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}$

Umiejętności w zadaniu

Stosowanie wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń i uproszczenie wyrażenia pod pierwiastkiem do postaci $\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}$ .

.

1 pkt

przyjęcie $R = (x, -0.5(x-0.5)^2 + 4)$ (lub $R = (x, g(x))$ ) i zastosowanie wzoru na odległość dwóch punktów do wyznaczenia długości odcinka $PR$ : $|PR| = \sqrt{(x+1)^2 + (-0.5(x-0.5)^2 + 4 - 1)^2}$ (lub $|PR| = \sqrt{(x+1)^2 + (g(x) - 1)^2}$ ).