Zadanie 7, maj 2017: matematyka rozszerzona

Polecenie

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność $x^2y^2 + x^2 + y^2 - 8xy + 4 > 0$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

I sposób: Przekształcamy nierówność: $(xy)^2 - 4xy + 4 + (x^2 - 2xy + y^2) > 0$

Schemat punktowania

1 pkt

postęp istotny (dla wybranego sposobu).

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności.

3 pkt

pełne rozumowanie z uwzględnieniem warunku $x \ne y$ .

Komentarz

Dopuszczalne są różne sposoby dowodu (algebraiczne przekształcenia, nierówność AM-GM, analiza deltę dla równania kwadratowego). Kluczowe jest wykazanie, że wyrażenie jest zawsze dodatnie dla różnych x, y.

Umiejętności w zadaniu

, czyli

(xy - 2)^2 + (x - y)^2 > 0

. Ponieważ

x \ne y

, to

(x-y)^2 > 0

, a zatem lewa strona jest sumą liczby nieujemnej

(xy-2)^2

i liczby dodatniej

(x-y)^2

, więc jest dodatnia.

II sposób: Rozpatrujemy jako nierówność kwadratową względem x z parametrem y. Wyróżnik $\Delta = 64y^2 - 4 \cdot 2 \cdot (y^2+4) = 64y^2 - 8y^2 - 32 = 56y^2 - 32 = 8(7y^2 - 4)$ . Dla $y = \pm\frac{2\sqrt{7}}{7}$ przeprowadzamy osobne rozumowanie; dla pozostałych y wyróżnik dodatni oznacza pierwiastki rzeczywiste, ale dla $x \ne y$ nierówność jest spełniona. Alternatywnie: przy $xy > 0$ nierówność wynika z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla czterech składników.