Pole powierzchni całkowitej: $P = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

Stąd: $h = \frac{P - 2\pi r^2}{2\pi r}$

Objętość jako funkcja $r$: $V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot \frac{P - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{Pr - 2\pi r^3}{2}$

Dziedz.: $0 < r < \sqrt{\frac{P}{2\pi}}$

Pochodna: $V'(r) = \frac{P - 6\pi r^2}{2}$

$V'(r) = 0$ gdy $r = \sqrt{\frac{P}{6\pi}}$

Badanie znaku: $V'(r) > 0$ dla $0 < r < \sqrt{\frac{P}{6\pi}}$

Zatem maksimum w $r = \sqrt{\frac{P}{6\pi}}$

Wysokość: $h = \frac{P - 2\pi \cdot \frac{P}{6\pi}}{2\pi\sqrt{\frac{P}{6\pi}}} = \frac{P - \frac{P}{3}}{2\pi\sqrt{\frac{P}{6\pi}}} = \frac{2P}{3 \cdot 2\sqrt{6\pi P}} = \sqrt{\frac{2P}{3\pi}}$

Największa objętość: $V_{max} = \frac{P}{6\pi}\sqrt{\frac{2P}{3\pi}} = \frac{P\sqrt{2P}}{6\pi\sqrt{3\pi}} = \frac{P}{3}\sqrt{\frac{2P}{3\pi}}$

Albo: $V_{max} = \frac{1}{6}P\sqrt{\frac{2P}{3\pi}}$