Zadanie 9, maj 2017: matematyka rozszerzona

Polecenie

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$ , równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej $\frac{8}{27}$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka S kuli od płaszczyzny

\pi

, tj. długość najkrótszego spośród odcinków SP, gdzie P jest punktem płaszczyzny

\pi

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Czworościan foremny o krawędzi 6 ma wysokość $H = 2\sqrt{6}$ i promień kuli wpisanej $R = \frac{H}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawna odpowiedź: $d = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Komentarz

Obliczenia wymagają znalezienia wysokości czworościanu foremnego, promienia kuli wpisanej, uwzględnienia skali podobieństwa wyznaczonej przez stosunek objętości oraz geometrycznego położenia płaszczyzny i środka kuli.

Umiejętności w zadaniu

. Ponieważ górny ostrosłup ma objętość

\frac{8}{27}

czworościanu, skala podobieństwa wynosi

\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}

. Płaszczyzna

\pi

dzieli wysokość w stosunku

2:1

od wierzchołka, czyli jest w odległości

\frac{2H}{3}

od wierzchołka. Środek kuli jest w odległości

\frac{H}{4}

od podstawy. Odległość środka kuli od płaszczyzny

\pi

wynosi

d = H - \frac{2H}{3} - \frac{H}{4} = \frac{6}{6} = \sqrt{6} - \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}

. Po przeliczeniu:

d = \frac{\sqrt{6}}{6}

.