Matura z matematyki, maj 2017

MatematykaMaj 20171 pktzamknięteśrednie 62%

Zadanie 1

Liczba $\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2$ jest równa A. $2$ B. $4$ C. $\sqrt{3}$ D. $2\sqrt{3}$

MatematykaMaj 20171 pktzamkniętełatwe 81%

Zadanie 2

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem $a_n = \frac{(2n^2 - 3n)(2n^2 + 10n)}{(2n+3)(2n+3)}$ dla $n \ge 1$. Wtedy A. $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2}$ B. $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$ C.…

MatematykaMaj 20171 pktzamkniętełatwe 81%

Zadanie 3

Odcinek CD jest wysokością trójkąta ABC, w którym $AD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}BC$ (zobacz rysunek). Okrąg o środku C i promieniu CD jest styczny do prostej AB. Okrąg ten przecina boki AC i BC trójkąta odpowiednio w punktach K i L. Zaznaczony na rysunku…

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20171 pktzamknięteśrednie 61%

Zadanie 4

Dane są punkt $B = (-4, 7)$ i wektor $\vec{u} = [-3, 5]$. Punkt A, taki że $\vec{AB} = -3\vec{u}$, ma współrzędne A. $(5, -8)$ B. $(13, -22)$ C. $(9, -15)$ D. $(12, 24)$

MatematykaMaj 20172 pktobliczenioweśrednie 61%

Zadanie 5

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + \frac{3}{4}$ przez dwumian $x - 2$ jest równa 1. Oblicz wartość współczynnika a. W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

MatematykaMaj 20173 pktotwarteśrednie 45%

Zadanie 6

Funkcja f jest określona wzorem $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P = (1, 0)$.

MatematykaMaj 20173 pktotwartetrudne 26%

Zadanie 7

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność $x^2y^2 + x^2 + y^2 - 8xy + 4 > 0$.

MatematykaMaj 20173 pktotwartetrudne 11%

Zadanie 8

Wykaż, że długość odcinka BE jest równa $\frac{2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c}$.

MatematykaMaj 20174 pktobliczeniowetrudne 12%

Zadanie 9

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o…

MatematykaMaj 20174 pktobliczenioweśrednie 47%

Zadanie 10

Rozwiąż równanie $\cos 2x + 3\cos x + 2 = 0$ w przedziale $\langle 0, 2\pi\rangle$.

MatematykaMaj 20174 pktobliczeniowetrudne 23%

Zadanie 11

W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy…

MatematykaMaj 20175 pktotwartetrudne 28%

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie $(x^2 - 4)(x^2 - 6mx + m^2 + 3) = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, przy czym $x_1 < x_2$, spełniające warunek $(4x_1 - 1)(4x_2 - 1) < 0$.

MatematykaMaj 20175 pktobliczenioweśrednie 40%

Zadanie 13

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A = (-5, 3)$ i $B = (0, 6)$, którego środek leży na prostej o równaniu $3x - y + 1 = 0$.

MatematykaMaj 20176 pktobliczenioweśrednie 60%

Zadanie 14

Liczby $a$, $b$, $c$ są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg $(2a - 1, b, 2c + 1)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a$, $b$, $c$.

MatematykaMaj 20177 pktobliczeniowetrudne 24%

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej $P$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.