Zadanie 13, maj 2017: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A = (-5, 3)$ i

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

B = (0, 6)

, którego środek leży na prostej o równaniu

3x - y + 1 = 0

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Równanie okręgu: $x^2 + (y - \frac{1}{3})^2 = \frac{289}{9}$

Schemat punktowania

1 pkt

wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB lub współczynnika kierunkowego prostej AB.

2 pkt

zapisanie równania symetralnej odcinka AB.

3 pkt

wyznaczenie współrzędnych środka okręgu $S$ .

4 pkt

wyznaczenie promienia okręgu (lub kwadratu promienia).

5 pkt

wyznaczenie równania okręgu.

Komentarz

Można użyć trzech podejść: poprzez symetralną odcinka AB, poprzez równość odległości od dwóch punktów, lub poprzez ogólne równanie okręgu. Wszystkie metody prowadzą do tego samego rezultatu.

Umiejętności w zadaniu

Albo: $(x - 0)^2 + (y - \frac{1}{3})^2 = \frac{289}{9}$

Metoda: Środek $S$ leży na danej prostej, więc $S = (a, 3a + 1)$ dla pewnego $a$ . Ponieważ okrąg przechodzi przez oba punkty, odległości od środka do punktów są równe: $|AS| = |BS|$ . Stąd wynika równanie $10a + 6 = 2$ (z porównania kwadratów odległości), dające $a = 0$ . Zatem $S = (0, \frac{1}{3})$ . Promień: $r^2 = 0^2 + (3 - \frac{1}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2 = \frac{64}{9}$ . Lub obliczając dla punktu $B$ : $r^2 = 0^2 + (6 - \frac{1}{3})^2 = (\frac{17}{3})^2 = \frac{289}{9}$ .