Zadanie 8, maj 2017: matematyka rozszerzona

Polecenie

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość $c$ , długość boku BC jest równa $a$ oraz $\angle ABC = \beta$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E.

Wykaż, że długość odcinka BE jest równa $\frac{2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c}$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

I sposób (przez pola trójkątów): Pole ABC = $\frac{1}{2}ac\sin\beta$ . Pola ABE i CBE to odpowiednio $\frac{1}{2}cd\sin\frac{\beta}{2}$

Schemat punktowania

1 pkt

postęp istotny (zaproponowanie podejścia i zapisanie stosownych zależności).

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności (np. wyrażenie pól trójkątów lub zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej i cosinusów).

3 pkt

pełne rozumowanie prowadzące do wykazanego wzoru.

Komentarz

Dopuszczalne są alternatywne metody: przez pola, przez twierdzenie o dwusiecznej i twierdzenie cosinusów, przez wysokości. Wynik musi być równoważny podanemu wzorowi.

Umiejętności w zadaniu

i

\frac{1}{2}ad\sin\frac{\beta}{2}

, gdzie d = BE. Z warunku, że suma pól ABE i CBE równa się polu ABC:

\frac{1}{2}cd\sin\frac{\beta}{2} + \frac{1}{2}ad\sin\frac{\beta}{2} = \frac{1}{2}ac\sin\beta

. Stąd

d(a+c)\sin\frac{\beta}{2} = ac \cdot 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}

, czyli

d = \frac{2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c}

.

II sposób (twierdzenie o dwusiecznej + twierdzenie cosinusów).

III sposób (wysokości i podobieństwo trójkątów).