Zadanie 8, czerwiec 2016: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wykaż, że dla $a, b, c, d > 0$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

prawdziwa jest nierówność

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \geq \frac{a + c}{b + d}

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Obie strony nierówności są dodatnie, więc podnosimy obustronnie do kwadratu:

$\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right)^2 \geq \left(\frac{a + c}{b + d}\right)^2$

Schemat punktowania

1 pkt

zauważenie, że obie strony są dodatnie i można podnieść do kwadratu.

2 pkt

zapisanie nierówności po podniesieniu do kwadratu: $(a+b)(c+d) \geq (ac+bd)^2$

Komentarz

Jeśli przy podnoszeniu do kwadratu prawej strony otrzyma się wyrażenie $ac + bd$ zamiast $(ac+bd)^2$ , to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

Umiejętności w zadaniu

$\frac{a^2}{b^2} + 2\frac{ac}{bd} + \frac{c^2}{d^2} \geq \frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}$

$(ad + bc)^2 \geq abcd$

$(ad - bc)^2 \geq 0$

Co jest prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych, a zatem dla wszystkich $a, b, c, d > 0$ .

.

3 pkt

zapisanie nierówności w postaci: $2ad + 2bc \geq abcd$ .

4 pkt

przeprowadzenie pełnego dowodu.