Promień podstawy: $r = \sqrt{\frac{1}{3}}$, największa objętość: $V_{\max} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{9}$ lub równoważnie $\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$.

Pole całkowite walca: $P = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi$, stąd $r^2 + rh = 1$

Zatem $h = \frac{1 - r^2}{r}$ (dla $r > 0$

Objętość: $V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot \frac{1 - r^2}{r} = \pi r(1 - r^2) = \pi(r - r^3)$

Pochodna: $V'(r) = \pi(1 - 3r^2)$.

Równanie $V'(r) = 0$: $1 - 3r^2 = 0 \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Sprawdzenie drugiej pochodnej: $V''(r) = -6\pi r < 0$ dla $r > 0$, więc to maksimum.

Wielkość maksymalna: $V_{\max} = \pi \left(\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}}\right) = \pi \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{9}$