Zadanie 12, czerwiec 2016: matematyka rozszerzona

Polecenie

Liczba $m$ jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania $k^2 x^2 + (k - 1)x + 1 = 0$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, gdzie

k \neq 0

. Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem

f(x) = \frac{2}{m}

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Dla równania $k^2 x^2 + (k-1)x + 1 = 0$ mamy pierwiastkami $x_1$

Schemat punktowania

1 pkt

postęp: zastosowanie wzorów Viete'a do wyrażenia $m$ .

2 pkt

istotny postęp: wyznaczenie warunku na pierwiastki (deltę).

3 pkt

zasadnicze trudności: wyznaczenie przedziału wartości $m$ .

4 pkt

rozwiązanie pełne: wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f(x) = (1, 3)$

Umiejętności w zadaniu

i

x_2

.

Z wzorów Viete'a: $x_1 + x_2 = -\frac{k-1}{k^2}$ i $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{k^2}$ .

$m = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-\frac{k-1}{k^2}}{\frac{1}{k^2}} = -(k-1) = 1 - k$ .

Warunek na dwa różne pierwiastki: $\Delta > 0$ , czyli $(k-1)^2 - 4k^2 > 0$ , czyli $k^2 - 2k + 1 - 4k^2 > 0$ , czyli $-3k^2 - 2k + 1 > 0$ , czyli $(1-3k)(1+k) > 0$ .

Stąd $k \in (-1, \frac{1}{3})$ i $k \neq 0$ .

$m = 1 - k \in (\frac{2}{3}, 2)$ (gdy $k \in (-1, 0) \cup (0, \frac{1}{3})$ ).

$f(x) = \frac{2}{m} \in (1, 3)$ .

.