Matura z matematyki, czerwiec 2016

MatematykaCzerwiec 20161 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 1

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x} + 5} - 3$ dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest A. $(2, +\infty)$ B. $\langle 1, 3 \rangle$ C. $(-1, +\infty)$ D. $(0, +\infty)$

MatematykaCzerwiec 20161 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 2

Wartość wyrażenia $\sin^2 75° - \cos^2 75°$ jest równa A. $-\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

MatematykaCzerwiec 20161 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 3

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ dane są: $AD = 6$, $BC = 12$, $AC = 10$ oraz $\angle ABC = \angle CAD$ (zobacz rysunek). Wówczas długość podstawy $AB$ tego trapezu jest równa A. $AB = 18$ B. $AB = 20$ C. $AB = 22$ D. $AB = 24$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20161 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 4

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. $\frac{1}{2}$ D.…

MatematykaCzerwiec 20161 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 5

Granica $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^5 - 7n^3 + 2}{1 + 2n + 3n^2 + 4n^3}$ jest równa A. $-\infty$ B. $-\frac{7}{4}$ C. $0$ D. $+\infty$

MatematykaCzerwiec 20162 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla $n \geq 1$, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $12$. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku…

MatematykaCzerwiec 20162 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7

Dane są zdarzenia losowe $A, B \subset \Omega$ takie, że $P(A) = \frac{2}{7}$ i $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$. Oblicz $P(B \setminus A)$, gdzie zdarzenie $B \setminus A$ oznacza różnicę zdarzeń $B$ i $A$. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku…

MatematykaCzerwiec 20164 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 8

Wykaż, że dla $a, b, c, d > 0$ prawdziwa jest nierówność $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \geq \frac{a + c}{b + d}$.

MatematykaCzerwiec 20164 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność $\frac{x - 2}{x + 2} - 3 \geq 1 - x$.

MatematykaCzerwiec 20163 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 10

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$, w którym $a_4 = 4$ oraz dla każdej liczby $n \geq 1$ prawdziwa jest równość $a_{n+1} = a_n + 4 - n$. Oblicz pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

MatematykaCzerwiec 20163 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 11

Wykaż, że $BP : HP = 1 : 3$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20164 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 12

Liczba $m$ jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania $k^2 x^2 + (k - 1)x + 1 = 0$, gdzie $k \neq 0$. Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem $f(x) = \frac{2}{m}$.

MatematykaCzerwiec 20163 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 13

Rozwiąż nierówność $(2\sin x - 3)(2\sin x + 1) > 0$ w przedziale $x \in (0, 2\pi)$.

MatematykaCzerwiec 20164 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 14

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy $\frac{1}{2}$. Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

MatematykaCzerwiec 20164 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 15

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

MatematykaCzerwiec 20165 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 16

Punkty $A = (-7, -2)$ i $B = (4, -7)$ są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego ABC, a wysokość opuszczona z wierzchołka A tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2x + 19y + 52 = 0$. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

MatematykaCzerwiec 20167 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 17

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe $2\pi$. Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.