Zadanie 16, czerwiec 2016: matematyka rozszerzona

Polecenie

Punkty $A = (-7, -2)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i

B = (4, -7)

są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego ABC, a wysokość opuszczona z wierzchołka A tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu

2x + 19y + 52 = 0

. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$C = (6, 12)$

Trójkąt równoramienny ma AC = BC, zatem C leży na symetralnej podstawy AB i na prostej BC prostopadłej do podanej wysokości.

Środek AB: $S = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{2}\right)$

Schemat punktowania

1 pkt

obliczenie współrzędnych środka S, równania prostej AB, zapisu warunku z symetralną lub zapisanie równania symetralnej z użyciem warunku $|AC| = |BC|$ .

2 pkt

wyznaczenie równania symetralnej AB lub równania prostej BC.

3 pkt

wyznaczenie obu równań (symetralnej i BC), ale błąd rachunkowy przy ich obliczaniu.

4 pkt

prawidłowe wyznaczenie równań obu prostych: symetralna i BC.

5 pkt

Komentarz

Alternatywy: a) wyznaczenie symetralnej poprzez prostopadłość do wektora AB, b) wyznaczenie symetralnej z warunku równości odległości $|AC| = |BC|$ .

Umiejętności w zadaniu

.

Wektor AB: $\vec{AB} = (11, -5)$ .

Symetralna AB (prostopadła do AB, przechodząca przez S): $11x - 5y - 6 = 0$ , czyli $y = \frac{11x - 6}{5}$ .

Prosta BC prostopadła do $2x + 19y + 52 = 0$ (współczynnik kierunkowy prostopadły to $\frac{19}{2}$ ) i przechodząca przez B(4, -7):

$(x - 4) \cdot 19 - (y + 7) \cdot 2 = 0$ , czyli $19x - 2y - 90 = 0$ .

Punkt C: przecięcie $11x - 5y - 6 = 0$ i $19x - 2y - 90 = 0$ .

Z pierwszego: $y = \frac{11x - 6}{5}$ . Podstawić do drugiego: $19x - 2 \cdot \frac{11x - 6}{5} - 90 = 0$ .

$95x - 22x + 12 - 450 = 0 \Rightarrow 73x = 438 \Rightarrow x = 6$ .

$y = \frac{66 - 6}{5} = 12$ .

Zatem $C = (6, 12)$ .

obliczenie współrzędnych C: $(6, 12)$ .