Zadanie 11, czerwiec 2016: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ . Przez wierzchołki $A$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i

C

oraz środek

K

krawędzi

BF

poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną

BH

w punkcie

P

(zobacz rysunek).

Wykaż, że $BP : HP = 1 : 3$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Punkt $P$ leży w płaszczyźnie $DBFH$ i jest punktem przecięcia przekątnej $BH$ z odcinkiem $KL$ , gdzie $L$ to środek przekątnej $BD$

Schemat punktowania

1 pkt

zauważenie, że $P$ jest punktem przecięcia $BH$ z odcinkiem $KL$ , gdzie $L$ to środek $BD$

Umiejętności w zadaniu

ściany

ABCD

.

Odcinek $KL$ łączy środki boków $BD$ i $BF$ trójkąta $DBF$ , więc jest równoległy do boku $DF$ .

Trianele $LBK$ i $DBF$ są podobne w skali $1:2$ .

Zatem $BP = \frac{1}{2} BS$ , gdzie $S$ to środek przekątnej $BH$ .

$BP = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} BH = \frac{1}{4} BH$ .

Stąd $HP = \frac{3}{4} BH$ .

Zatem $BP : HP = \frac{1}{4} : \frac{3}{4} = 1 : 3$ .

.

2 pkt

wykazanie, że trójkąty $LBK$ i $DBF$ są podobne w skali $1:2$ , lub że $KL$ jest równoległy do $DF$ , lub wykazanie, że trójkąt $LBP$ jest równoramienny.

3 pkt

pełny dowód tezy $BP : HP = 1 : 3$ .