Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Nierówność przyjmuje postać $\frac{(a-2)^2(a+4)}{a} \ge 0$.

Dla $a > 0$: wyrażenie $(a-2)^2 \ge 0$, wyrażenie $(a+4) > 0$, więc $(a-2)^2(a+4) \ge 0$.

Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdego $a > 0$.

Sposób II (średnie):

Dla $a > 0$ liczby $a^2, \frac{8}{a}, \frac{8}{a}$ są dodatnie.

Z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną:

$\frac{a^2 + \frac{8}{a} + \frac{8}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{a^2 \cdot \frac{8}{a} \cdot \frac{8}{a}}$

$\frac{a^2 + \frac{16}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{64} = 4$

$a^2 + \frac{16}{a} \ge 12$

Sposób III (analiza funkcji):

Niech $f(a) = a^2 + \frac{16}{a}$ dla $a > 0$.

$f'(a) = 2a - \frac{16}{a^2} = \frac{2a^3 - 16}{a^2}$

Miejscem zerowym jest $a = 2$.

Funkcja osiąga minimum w $a = 2$: $f(2) = 4 + 8 = 12$.

Zatem $f(a) \ge 12$ dla każdego $a > 0$.