Zadanie 2, czerwiec 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wśród $n$ osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te $n$ osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

n

osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).

Oblicz $\mathbf{n}$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$n = 9$

Liczba wszystkich sposobów ustawienia $n$ osób w kolejce jest równa $n!$ .

Liczbę wszystkich ciągów, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy sąsiednie miejsca, obliczamy, traktując Anię i jej dwaj znajomych jak "jedną osobę". W rezultacie mamy ustawić ciąg złożony z $n-2$ osób na $(n-2)!$

Schemat punktowania

3 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $n = 9$ .

2 pkt

zapisanie równania z niewiadomą $n$ , np. $n! = 12 \cdot (n-2)! \cdot 3!$

Komentarz

Możliwy alternatywny sposób: wybranie trzech kolejnych miejsc na $n-2$ sposoby, ustawienie trzech osób na $3!$ sposobów i pozostałych $n-3$ osób na $(n-3)!$

Umiejętności w zadaniu

Permutacje, kombinacje i wariacje Ćwicz podobne

sposobów. Na ustalonych trzech miejscach Anię i jej dwaj znajomi możemy ustawić na

3!

sposobów, więc liczba szukanych ciągów wynosi

(n-2)! \cdot 3!

.

Z warunków zadania: $n! = 12 \cdot (n-2)! \cdot 3!$

Po podzieleniu przez $(n-2)!$ : $n(n-1) = 12 \cdot 6 = 72$

$n^2 - n - 72 = 0$

$(n-9)(n+8) = 0$

Ponieważ $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, $n = 9$ .

.

1 pkt

zapisanie, że liczba wszystkich sposobów ustawienia $n$ osób wynosi $n!$ albo że Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca na $n-2$ sposoby albo że liczba ustawień $n-2$ osób wynosi $(n-2)!$ .

sposobów, co daje

(n-2) \cdot 3! \cdot (n-3)! = (n-2)! \cdot 3!

.