Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej $\mathbf{x}$ (różnej od $\mathbf{0}$ i od $\mathbf{1}$), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa $\frac{15}{2}$. Zapisz obliczenia.

$\left|-\frac{3}{x-1}\right| < 1$

$\frac{3}{|x-1|} < 1$

$|x-1| > 3$

$x < -2$ lub $x > 4$

Suma szeregu: $S = \frac{a}{1-q} = \frac{2x}{1-(-\frac{3}{x-1})} = \frac{2x}{1 + \frac{3}{x-1}} = \frac{2x}{\frac{x-1+3}{x-1}} = \frac{2x(x-1)}{x+2}$

Równa się $\frac{15}{2}$:

$\frac{2x(x-1)}{x+2} = \frac{15}{2}$

$4x(x-1) = 15(x+2)$

$4x^2 - 4x = 15x + 30$

$4x^2 - 19x - 30 = 0$

$(4x + 5)(x - 6) = 0$

$x = -\frac{5}{4}$ lub $x = 6$

Sprawdzenie warunku zbieżności:

Dla $x = -\frac{5}{4}$: $-\frac{5}{4} < -2$ ✓

Dla $x = 6$: $6 > 4$ ✓

Odpowiedź: $x = 6$ (oraz $x = -\frac{5}{4}$ lub tylko $x = 6$ jeśli uwzględnimy szczegółowe warunki zadania).