Zadanie 6, czerwiec 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest okrąg $\mathcal{O}$ . Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

P

oraz

Q

. Przez punkt

B

leżący na odcinku

AP

poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie

D

, która przecięła odcinek

AQ

w punkcie

C

(zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli $|AQ| = 5 \cdot |BP|$ oraz $|CD| = 2 \cdot |BD|$ , to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Niech $|BP| = x$ .

Z twierdzenia o odcinkach stycznych: $|BD| = |BP| = x$ .

Z założenia: $|CD| = 2x$

Schemat punktowania

3 pkt

spełnienie kryterium za 2 pkt oraz uzasadnienie, że $|AC| = |BC|$ .

2 pkt

wyznaczenie długości odcinków $AP, AQ, BD, CD, CQ$

Komentarz

Rysunek pomocniczy w kluczu pokazuje naniesione długości odcinków. Twierdzenie o odcinkach stycznych poprowadzonych z tego samego punktu jest kluczowe do rozwiązania.

Umiejętności w zadaniu

Cięciwy, promienie i styczne okręgu Ćwicz podobne

.

Z twierdzenia o odcinkach stycznych: $|CQ| = |CD| = 2x$ .

Z założenia $|AQ| = 5|BP|$ : $|AQ| = 5x$ .

Z twierdzenia o odcinkach stycznych: $|AP| = |AQ| = 5x$ .

Zatem:

$|AC| = |AQ| - |CQ| = 5x - 2x = 3x$

$|BC| = |BD| + |CD| = x + 2x = 3x$

Ponieważ $|AC| = |BC|$ , trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

w zależności od tej samej zmiennej, np.

|AP| = 5x, |AQ| = 5x, |BD| = x, |CD| = 2x, |CQ| = 2x

.

1 pkt

zapisanie równości wynikającej z twierdzenia o odcinkach stycznych, np. $|BD| = |BP|$ albo $|AP| = |AQ|$ albo $|CQ| = |CD|$ .