Zadanie 12, czerwiec 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $4$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Kąty

\angle BAD

i

\angle BCD

są proste (zobacz rysunek). Przekątne

AC

i

BD

tego czworokąta przecinają się w punkcie

E

tak, że

|BE| = 3 \cdot |DE|

oraz

|BD| = 2 \cdot |AE|

.

Oblicz długości boków czworokąta $ABCD$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$|AB| = 2\sqrt{10}$ , $|BC| = 3\sqrt{6}$

Schemat punktowania

5 pkt

poprawna metoda rozwiązania oraz poprawny wynik: $|AB| = 2\sqrt{10}$ , $|BC| = 3\sqrt{6}$

Komentarz

Jeśli zdający zapisze $|DE| = 1$ i konsekwentnie rozwiąże zadanie, może otrzymać co najwyżej 3 punkty. Należy wykorzystać warunki dotyczące podziału przekątnych, twierdzenie o odcinkach siecznych i podobieństwo trójkątów.

Umiejętności w zadaniu

Czworokąty wpisane i opisane Ćwicz podobne

,

|CD| = \sqrt{10}

,

|AD| = 2\sqrt{6}

Z warunku $|BE| = 3|DE|$ i $|BD| = |BE| + |DE|$ wynika: $|BE| = 6$ , $|DE| = 2$

Z warunku $|BD| = 2|AE|$ wynika: $|AE| = 4$

Z twierdzenia o odcinkach siecznych: $|AE| \cdot |CE| = |BE| \cdot |DE|$ , czyli $4 \cdot |CE| = 6 \cdot 2$ , stąd $|CE| = 3$

Trójkąty $DEC$ i $AEB$ są podobne ze skalą $\frac{1}{2}$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych wynikających z warunków: $|AB|^2 = 6^2 + 4^2 = 52$ , $|AD|^2 = 2^2 + 4^2 = 20$

$|CD|^2 = 1^2 + 3^2 = 10$ , $|BC|^2 = 3^2 + (3\sqrt{6})^2 = 54$

Bokami są: $|AB| = 2\sqrt{10}$ , $|BC| = 3\sqrt{6}$ , $|CD| = \sqrt{10}$ , $|AD| = 2\sqrt{6}$

,

|CD| = \sqrt{10}

,

|AD| = 2\sqrt{6}

.

4 pkt

obliczenie długości boków $AB$ i $AD$ oraz spełnienie jednego z dodatkowych kryteriów (np. obliczenie $|CE|$ ).

3 pkt

obliczenie długości boków $AB$ i $AD$ .

2 pkt

obliczenie wysokości albo długości odcinków $DE$ , $BE$ , $AE$ albo wyznaczenie skali podobieństwa trójkątów.

1 pkt

obliczenie długości odcinków $DE$ , $BE$ , $AE$ , albo zapisanie podobieństwa trójkątów, albo zastosowanie twierdzenia o odcinkach siecznych.