Zadanie 9, czerwiec 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

W okrąg o równaniu $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

wpisano trójkąt

ABC

. Bok

AB

tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu

4x - 3y + 2 = 0

. Wysokość

CD

tego trójkąta dzieli bok

AB

tak, że

|AD| = 4 \cdot |DB|

.

Oblicz pole trójkąta $ABC$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Pole: $P = 20$

Prosta przechodzi przez środek $S = (1, 2)$ okręgu, zatem bok $AB$ jest średnicą: $|AB| = 10$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik: $P = 20$ .

3 pkt

obliczenie wysokości $CD$ trójkąta $ABC$ : $|CD| = 4$

Komentarz

Jeśli zdający popełnia błąd merytoryczny albo błędnie odgaduje długości odcinków, może otrzymać co najwyżej 2 punkty. Można również rozwiązać zadanie obliczając współrzędne wierzchołków.

Umiejętności w zadaniu

Z warunku $|AD| = 4 \cdot |DB|$ i $|AD| + |DB| = 10$ wynika: $|AD| = 8$ , $|DB| = 2$

Kąt $ACB$ jest kątem wpisanym opartym na średnicy, stąd $\angle ACB = 90°$

Wysokość z wierzchołka kąta prostego: $|CD| = \sqrt{|AD| \cdot |DB|} = \sqrt{8 \cdot 2} = 4$

Pole: $P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20$

.

2 pkt

obliczenie długości odcinków $AD$ i $DB$ : $|AD| = 8$ oraz $|DB| = 2$ .

1 pkt

zapisanie, że bok $AB$ trójkąta jest średnicą okręgu, albo że środek okręgu leży na prostej zawierającej bok $AB$ .