Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

a) Wyznacz zależność objętości $V$ graniastosłupa od jego wysokości $h$ i podaj dziedzinę funkcji $V(h)$.

b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz obliczenia.

Krzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ODH$: $d^2 = h^2 + |OD|^2$, stąd $|OD| = \sqrt{d^2 - h^2}$

Ponieważ $|OD| = \frac{1}{2}|BD| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, otrzymujemy $a = \sqrt{2} \cdot \sqrt{d^2 - h^2}$

Pole podstawy: $P_P = 2(d^2 - h^2)$

Objętość: $V(h) = 2(d^2 - h^2) \cdot h = 2(d^2h - h^3)$ dla $0 < h < d$

b) $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$

Pochodna: $V'(h) = 2(d^2 - 3h^2)$

Miejsce zerowe: $V'(h) = 0 \Rightarrow h = \frac{d}{\sqrt{3}}$

Funkcja $V$ jest rosnąca w $(0, \frac{d}{\sqrt{3}})$ i malejąca w $(\frac{d}{\sqrt{3}}, d)$, więc osiąga maksimum dla $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$