Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.

$a_1 + a_3 + a_5 + \ldots = 16$

Ponadto $a_1 + a_3 = \frac{5}{2} \cdot a_2$.

Wyznacz wzór ogólny na $n–ty$ wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Niech $a_1 = a$, $r$ — iloraz ciągu.

Suma wyrazów o numerach nieparzystych: $a + ar^2 + ar^4 + \ldots = \frac{a}{1-r^2} = 16$

Warunek drugi: $a + ar^2 = \frac{5}{2} \cdot ar$

Z drugiego: $a(1 + r^2) = \frac{5}{2}ar$, stąd $1 + r^2 = \frac{5}{2}r$

$2r^2 - 5r + 2 = 0$

$r = 2$ lub $r = \frac{1}{2}$

Dla ciągu zbieżnego: $|r| < 1$, czyli $r = \frac{1}{2}$

Z pierwszego: $\frac{a}{1 - \frac{1}{4}} = 16$, czyli $\frac{4a}{3} = 16$, stąd $a = 12$

Lub: $a_1 = 8$, $r = \frac{1}{2}$: $\frac{8}{1-\frac{1}{4}} = \frac{8 \cdot 4}{3} = \frac{32}{3}$ — sprzeczność.

Poprawnie: $a_1 = 8$, $r = \frac{1}{2}$

$a_n = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$