Zadanie 11, czerwiec 2024: matematyka rozszerzona

Polecenie

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $3x + y + 2 = 0$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

przecina parabolę o równaniu

y = x^2 - 2x - 8

w punktach

A

oraz

B

, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku

ABCD

. Wierzchołek

A

ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = -\frac{1}{2}x + 1

i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu

C

od prostej zawierającej bok

AB

równoległoboku jest równa

\frac{9\sqrt{10}}{5}

.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$|BC| = 2\sqrt{13}$

Etap 1. Współrzędne punktów $A$ i $B$

Schemat punktowania

Pierwszy etap (2 pkt): obliczenie współrzędnych punktów $A = (-3, 7)$ oraz $B = (2, -8)$ lub zapisanie równania z jedną niewiadomą wynikającego z układu równań (1 pkt).

Drugi etap (3 pkt): obliczenie współrzędnych punktu $C = (6, -2)$

Umiejętności w zadaniu

Wektory na płaszczyźnie Ćwicz podobne

:

Rozwiązujemy układ równań $\begin{cases} y = x^2 - 2x - 8 \\ 3x + y + 2 = 0 \end{cases}$

$3x + x^2 - 2x - 8 + 2 = 0$ , czyli $x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$ , stąd $x = -3$ lub $x = 2$

Dla $x = -3$ : $y = 9 + 6 - 8 = 7$ , czyli $A = (-3, 7)$

Dla $x = 2$ : $y = 4 - 4 - 8 = -8$ , czyli $B = (2, -8)$

Etap 2. Współrzędne punktu $C$ :

Punkt $C$ leży na prostej $y = -\frac{1}{2}x + 1$ , zatem $C = (c, -\frac{1}{2}c + 1)$ dla pewnego $c > 0$ .

Ze wzoru na odległość punktu od prostej:

$\frac{|3c + (-\frac{1}{2}c + 1) + 2|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{9\sqrt{10}}{5}$

$\frac{|2,5c + 3|}{\sqrt{10}} = \frac{9\sqrt{10}}{5}$

$|2,5c + 3| = 18$

$2,5c + 3 = 18$ lub $2,5c + 3 = -18$

$c = 6$ lub $c = -\frac{42}{5}$

Ponieważ $c > 0$ , to $c = 6$ , zatem $C = (6, -2)$

Etap 3. Długość boku $BC$ :

$|BC| = \sqrt{(6 - 2)^2 + (-2 - (-8))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

(3 pkt) lub zapisanie równania z jedną niewiadomą dotyczącego pierwszej/drugiej współrzędnej punktu

C

(2 pkt) lub uzależnienie drugiej/pierwszej współrzędnej od pierwszej/drugiej (1 pkt).

Trzeci etap (1 pkt): obliczenie długości boku $BC = 2\sqrt{13}$ .