Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

$V(R) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6R^2 - R^3)$

dla $R \in (0, 6)$.

Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

Metoda 1 (pochodna):

$V'(R) = \frac{\sqrt{3}}{4}(12R - 3R^2)$

$V'(R) = 0 \Rightarrow 3R(4-R) = 0 \Rightarrow R = 4$ (w przedziale $(0,6)$)

Badanie znaku: $V'(R) > 0$ dla $R \in (0,4)$, $V'(R) < 0$ dla $R \in (4,6)$

Funkcja rosnąca na $(0,4]$, malejąca na $[4,6)$, maksimum w $R=4$.

$V(4) = \frac{\sqrt{3}}{4}(6 \cdot 16 - 64) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 32 = 8\sqrt{3}$

Metoda 2 (średnie):

Z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną liczb $R, R, 12-2R > 0$:

$\frac{R + R + 12 - 2R}{3} \geq \sqrt[3]{R \cdot R \cdot (12-2R)}$

$4 \geq \sqrt[3]{2(6R^2 - R^3)}$

$64 \geq 2(6R^2 - R^3)$

$\frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 64 \geq \frac{\sqrt{3}}{4}(6R^2 - R^3)$

$8\sqrt{3} \geq V(R)$

Równość gdy $R = 12 - 2R$, czyli $R = 4$.