Zadanie 4, czerwiec 2025: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest prostokąt $ABCD$ , w którym $|AB| = 2 \cdot |AD|$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Na bokach

AB

,

BC

,

CD

oraz

DA

tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio –

K

,

L

,

M

oraz

N

(przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta

ABCD

). Czworokąt

KLMN

jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość

LM

tego trapezu jest równoległa do przekątnej

BD

prostokąta.

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $MDN$ do pola trójkąta $KBL$ jest równy $16$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Sposób I: Oznaczmy przez $a$ długość boku $AD$ , wtedy $|AB| = 2a$ . Kąty $DMN$ i $BKL$

Schemat punktowania

3 pkt

poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.

2 pkt

wyznaczenie długości odcinka $CL$ (lub $LB$ ) w zależności od $|DM|$ oraz uzasadnienie podobieństwa trójkątów $MDN$

Umiejętności w zadaniu

Dowody geometryczne Ćwicz podobne

są naprzemianległe i

MN \parallel KL

, więc trójkąty prostokątne

MDN

i

KBL

są podobne. Z warunku

ML \parallel DB

i twierdzenia Talesa:

\frac{|DM|}{|LB|} = \frac{|MC|}{|LC|}

, stąd

|LB| = \frac{1}{2}|DM|

. Z warunku

MN \perp DB

i podobieństwa trójkątów

MDN

i

BCD

:

\frac{|DM|}{|DN|} = \frac{1}{2}

. Zatem

|LB| = \frac{1}{4}|DN|

, co oznacza że trójkąt

MDN

jest podobny do trójkąta

KBL

w skali 4. Stosunek pól jest równy kwadratowi skali: 16.

Sposób II: Punkty $E$ – przecięcie $DB$ z $MN$ , $F$ – przecięcie $DB$ z $KL$ . Niech $|DE| = 2x$ . Z podobieństwa trójkątów $MDE$ i $BDC$ : $|ME| = x$ . Czworokąt $MEFL$ jest prostokątem, więc $|FL| = x$ . Z podobieństwa trójkątów $MDE$ i $KLB$ : $|FB| = \frac{1}{2}x$ . Stosunek wysokości trójkątów $MDN$ i $KBL$ to $\frac{2x}{\frac{1}{2}x} = 4$ , skala podobieństwa wynosi 4, stosunek pól wynosi 16.

Sposób III: Umieszczamy prostokąt w układzie współrzędnych: $A = (0,0)$ , $B = (2a,0)$ , $C = (2a,a)$ , $D = (0,a)$ . Prosta $ML$ ma równanie $y = -\frac{1}{2}x + c$ dla $c \in (a, 2a)$ . Stąd $M = (2c-2a, a)$ , $L = (2a, c-a)$ , $N = (0, 5a-4c)$ , $K = (\frac{5a-c}{2}, 0)$ . Długości boków: $|ND| = 4|c-a|$ , $|DM| = 2|c-a|$ , $|KB| = \frac{1}{2}|c-a|$ , $|BL| = |c-a|$ . Stosunek pól: $\frac{\frac{1}{2} \cdot 4|c-a| \cdot 2|c-a|}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}|c-a| \cdot |c-a|} = 16$ .

i

KBL

, lub uzasadnienie podobieństwa i zapisanie długości odcinków

DE

i

FL

za pomocą jednej zmiennej, lub wyznaczenie współrzędnych wierzchołków trapezu.

1 pkt

uzasadnienie podobieństwa trójkątów $MDN$ i $KBL$ , lub wyznaczenie długości odcinka $CL$ (lub $LB$ ) w zależności od $|DM|$ , lub zapisanie długości odcinków za pomocą jednej zmiennej, lub umieszczenie prostokąta w układzie współrzędnych i zapisanie równania prostej $ML$ .