Zadanie 10, czerwiec 2025: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCD$ o podstawie $ABC$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Płaszczyzna zawierająca krawędź

AB

podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej

CD

przecina tę krawędź w punkcie

E

, przy czym

\frac{|CE|}{|DE|} = \frac{3}{11}

.

Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy $\mathbf{ABC}$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa do pola podstawy: $\eta = 6$

Kolejne kroki rozwiązania (sposób I):

1. Ponieważ $\frac{|CE|}{|DE|} = \frac{3}{11}$

Schemat punktowania

5 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $6$ .

4 pkt

wyznaczenie w zależności od $x$ czterech spośród wielkości: 1) długości wysokości ściany bocznej ( $|BE| = 5\sqrt{3}x$

Komentarz

Istnieją trzy podejścia: I) bezpośrednie zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, II) wykorzystanie podobieństwa trójkątów prostokątnych, III) analiza geometryczna z użyciem środka okręgu opisanego na podstawie. Wszystkie prowadzą do tego samego wyniku.

Umiejętności w zadaniu

, przyjmujemy

|CE| = 3x

i

|DE| = 11x

przy pewnym

x > 0

2. Długość krawędzi bocznej: $|CD| = 3x + 11x = 14x$

3. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BED$ : $|BE|^2 + (11x)^2 = (14x)^2$ , stąd $|BE| = 5\sqrt{3}x$

4. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BCE$ : $|BC|^2 = (3x)^2 + (5\sqrt{3}x)^2 = 9x^2 + 75x^2 = 84x^2$ , stąd $|BC| = 2\sqrt{21}x$

5. Pole powierzchni bocznej: $P_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot |CD| \cdot |BE| = \frac{3}{2} \cdot 14x \cdot 5\sqrt{3}x = 105\sqrt{3}x^2$

6. Pole podstawy (trójkąt równoboczny): $P_p = \frac{|BC|^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{21}x)^2 \sqrt{3}}{4} = 21\sqrt{3}x^2$

7. Stosunek: $\eta = \frac{P_b + P_p}{P_p} = \frac{105\sqrt{3}x^2 + 21\sqrt{3}x^2}{21\sqrt{3}x^2} = 6$

lub

|DF| = 5\sqrt{7}x

), 2) długości krawędzi podstawy (

|BC| = 2\sqrt{21}x

), 3) pola podstawy (

21\sqrt{3}x^2

), 4) pola ściany bocznej (

35\sqrt{3}x^2

lub pola całej powierzchni bocznej

105\sqrt{3}x^2

).

3 pkt

wyznaczenie w zależności od $x$ trzech spośród wielkości 1)-4).

2 pkt

wyznaczenie w zależności od $x$ dwóch spośród wielkości 1)-4).

1 pkt

wyznaczenie w zależności od $x$ jednej z wielkości 1)-4).