Zadanie 2, czerwiec 2025: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wykaż, że jeżeli $a = \log_2 14$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

oraz

b = \log_{\sqrt{2}} 27

, to

\log_7 54 = \frac{b + 2}{2a - 2}

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Sposób I: $\log_7 54 = \frac{\log_2 54}{\log_2 7} = \frac{\log_2 27 + \log_2 2}{\log_2 14 - \log_2 2} = \frac{\log_{\sqrt{2}} 27}{\log_{\sqrt{2}} 2 + 1}{a-1} = \frac{b + 1}{a - 1} = \frac{b + 2}{2a - 2}$

Schemat punktowania

3 pkt

poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.

2 pkt

przekształcenie wyrażenia $\log_{\sqrt{2}} 27 + 2$

Umiejętności w zadaniu

Własności logarytmów Ćwicz podobne

Sposób II: Przekształcamy wyrażenie $\frac{b+2}{2a-2}$ korzystając z założenia i wzoru na zamianę podstawy logarytmu, wykazując że równa się $\log_7 54$ .

Sposób III: Z definicji logarytmu: $2^a = 14$ , $(\sqrt{2})^b = 27$ . Stąd $7 = 2^{a-1}$ , $27 = 2^{b/2}$ . Oznaczając $7^x = 54$ , otrzymujemy $2^{(a-1)x} = 2 \cdot 2^{b/2}$ , stąd $(a-1)x = \frac{b}{2} + 1$ , czyli $x = \frac{b+2}{2(a-1)} = \frac{b+2}{2a-2}$ .

Sposób IV: $54 = 27 \cdot 2 = 2^{b/2} \cdot 7^{1/(a-1)} = 7^{(b+2)/(2a-2)}$

lub

2\log_2 14 - 2

lub

\log_7 54

do postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu, ilorazu, zamianę podstawy lub logarytm potęgi można otrzymać tezę.

1 pkt

zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu, logarytm iloczynu, ilorazu lub potęgi.