Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

w przedziale $[0, \pi]$. Zapisz obliczenia.

Przekształcenie równania: $\cos(2x) + \cos(4x) + 2\cos^2(3x) = 0$

Zastosowanie wzoru na sumę cosinusów: $2\cos(3x)\cos(x) + 2\cos^2(3x) = 0$

Faktoryzacja: $2\cos(3x)[\cos(x) + \cos(3x)] = 0$

Stąd: $\cos(3x) = 0$ lub $\cos(x) + \cos(3x) = 0$

Rozwiązanie $\cos(3x) = 0$: $3x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, czyli $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}k$ dla $k \in \mathbb{Z}$. W przedziale $[0, \pi]$: $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\}$

Rozwiązanie $\cos(x) + \cos(3x) = 0$: $\cos(3x) = -\cos(x) = \cos(\pi + x)$, czyli $3x = \pi + x + 2k\pi$ lub $3x = -\pi - x + 2k\pi$

Stąd: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ lub $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$ dla $k \in \mathbb{Z}$. W przedziale $[0, \pi]$: $x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\}$

Bezpieczenie duplikatów: $x = \frac{\pi}{2}$ pojawia się w obu zbiorach