Zadanie 5, czerwiec 2025: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie

$x^2 + 2mx + 2m - 1 = 0$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek

$m(x_1^2 + x_2^2) = 3m \cdot x_1 \cdot x_2 + 2$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$m = 2$

Warunek $\Delta > 0$ : $4m^2 - 8m + 4 > 0$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawne rozwiązanie warunku $\Delta > 0$ : $m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ , poprawne rozwiązanie warunku $m(x_1^2 + x_2^2) = 3m \cdot x_1 \cdot x_2 + 2$

Komentarz

Należy pamiętać, że warunek $\Delta > 0$ musi być spełniony dla przyjętego rozwiązania. Równanie $4m^2 - 2m + 1 = 0$ można zapisać jako $3m^2 + (m-1)^2 > 0$

Umiejętności w zadaniu

, czyli

4(m-1)^2 > 0

, stąd

m \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)

Przekształcenie warunku: $m[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2] = 3m x_1 x_2 + 2$

Zastosowanie wzorów Viete'a: $x_1 + x_2 = -2m$ , $x_1 x_2 = 2m - 1$

Podstawienie: $m[4m^2 - 2(2m-1)] = 3m(2m-1) + 2$

Uproszczenie: $4m^3 - 10m^2 + 5m - 2 = 0$

Rozkład: $(m-2)(4m^2 - 2m + 1) = 0$

Rozwiązanie: $m = 2$ (równanie $4m^2 - 2m + 1 = 0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych)

Sprawdzenie warunku $\Delta > 0$ : $2 \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$ ✓

:

m = 2

, i poprawna odpowiedź:

m = 2

.

3 pkt

poprawnie rozwiązany warunek $\Delta > 0$ oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą $m$ , np. $m[(−2m)^2 − 2(2m−1)] = 3m(2m−1) + 2$ .

2 pkt

poprawnie rozwiązany warunek $\Delta > 0$ oraz przekształcenie warunku do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viete'a.

1 pkt

poprawnie rozwiązany warunek $\Delta > 0$ lub przekształcenie warunku do postaci pozwalającej na zastosowanie wzorów Viete'a, lub wyznaczenie pierwiastków równania.

.