Zadanie 9, czerwiec 2015: matematyka rozszerzona

Polecenie

W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg $o_1$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg

o_2

przechodzi przez punkt B, przecina okrąg

o_1

w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg

o_2

przecina bok BC trójkąta w punkcie G.

Udowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Trzeci kąt trójkąta ABC ma miarę: $\angle ABC = 180° - 50° - 60° = 70°$ .

Czworokąty ADFE i BDFG są wpisane odpowiednio w okręgi $O_1$

Schemat punktowania

1 pkt

obliczenie miary kąta $\angle DFE = 130°$ albo miary kąta $\angle DFG = 110°$ .

2 pkt

obliczenie miary kąta $\angle EFG = 120°$

Komentarz

Rozwiązanie opiera się na własności czworokąta wpisanego w okrąg (suma kątów przeciwnych = 180°).

Umiejętności w zadaniu

i

O_2

, więc

\angle DFE = 180° - 50° = 130°

oraz

\angle DFG = 180° - 70° = 110°

.

Zatem $\angle EFG = 360° - 130° - 110° = 120°$ .

Stąd $\angle EFG + \angle ECG = 120° + 60° = 180°$ , zatem na czworokącie CEFG można opisać okrąg.

.

3 pkt

pełne uzasadnienie, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.