Zadanie 10, czerwiec 2015: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż równanie $4\sin^2(x) \cdot (1 - \sin^2(x)) = \cos^2(x) - 3\sin(x)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, dla

x \in (-\pi, 0)

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Korzystając ze wzoru $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ zapisujemy równanie w postaci: $4\sin^2(x)(1-\sin^2(x)) = 1 - 4\sin^2(x)$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie równania z niewiadomą $\sin(x)$ : $4\sin^2(x)(1-\sin^2(x)) = 1 - 4\sin^2(x)$

Komentarz

Jeśli zdający nie odrzuci warunku $\sin(x) = \frac{1}{2}$ i wyznaczy poprawne rozwiązania z pozostałych, otrzymuje 3 punkty. Jeśli poda ogólne rozwiązania bez uwzględnienia przedziału, otrzymuje 3 punkty.

Umiejętności w zadaniu

.

Przekształcamy to równanie do postaci iloczynowej: $4\sin^2(x)(1-\sin^2(x)) - (1 - 4\sin^2(x)) = 0$ , czyli $(2\sin(x)-1)(2\sin(x)+1)(\sin(x)-1) = 0$ .

Warunek $\sin(x) = \frac{1}{2}$ jest sprzeczny z założeniem $x \in (-\pi, 0)$ , bo wtedy $\sin(x) \le 0$ .

Zatem warunki $\sin(x) = \frac{1}{2}$ i $x \in (-\pi, 0)$ wyznaczają rozwiązanie $x = -\frac{\pi}{6}$ lub $x = -\frac{5\pi}{6}$ , a warunki $\sin(x) = -1$ i $x \in (-\pi, 0)$ wyznaczają rozwiązanie $x = -\frac{\pi}{2}$ .

.

2 pkt

zapisanie równania w postaci alternatywy: $\sin(x) = \frac{1}{2}$ lub $\sin(x) = -\frac{1}{2}$ lub $\sin(x) = -1$ .

3 pkt

rozwiązanie jednego z trzech równań w przedziale $(-\pi, 0)$ .

4 pkt

podanie wszystkich rozwiązań należących do przedziału $(-\pi, 0)$ : $x = -\frac{\pi}{6}$ lub $x = -\frac{5\pi}{6}$ lub $x = -\frac{\pi}{2}$ .