Zadanie 9, maj 2019: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym $|AC| = |BC|$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (

M \ne A

i

M \ne C

), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że

|AM| = |CN|

. Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T. Udowodnij, że

|ST| = \frac{1}{2}|AB|

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Niech trójkąt $ABC$ ma $|AC| = |BC| = b$ (ramiona). Kąt przy podstawie to $\angle CAB = \angle CBA = \alpha$

Schemat punktowania

3 pkt

pełny i poprawny dowód.

2 pkt

poprawne użycie symetrii trójkąta równoramiennego i warunku $|AM| = |CN|$ do wykazania, że $|MC| = |BN|$

Umiejętności w zadaniu

Dowody geometryczne Ćwicz podobne

. Umieść

A

w

(0,0)

i

B

w

(c,0)

na podstawie

AB = c

. Punkt

C

leży na symetralnej

AB

w

(c/2, h)

, gdzie

h = \frac{c}{2}\tan\alpha

. Punkt

M

na

AC

ma

|AM| = p

, punkt

N

na

BC

ma

|CN| = p

. Ponieważ

|AC| = |BC|

, z warunku

|AM| = |CN|

wynika

|MC| = |AC| - |AM| = b - p

i

|BN| = |BC| - |CN| = b - p

, czyli

|MC| = |BN|

. Przez symetrię trójkąta równoramiennego względem symetralnej

AB

, prostopadłe z

M

i

N

do podstawy wyznaczają punkty

S

i

T

takie, że

|AS| + |BT| = c/2

. Stąd

|ST| = c - |AS| - |BT| = c/2 = \frac{1}{2}|AB|

.

, ale bez pełnego uzasadnienia końcowego.

1 pkt

próba wykorzystania symetrii lub analiza warunku $|AM| = |CN|$ .

0 pkt

brak postępu lub błędne rozwiązanie.