Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Sprowadzenie drugiego okręgu do postaci $(x-a)^2 + (y+1)^2 = 5$: $r_2 = \sqrt{5}$, $(x_2, y_2) = (a, -1)$.

Obliczenie odległości między środkami: $d = \sqrt{(6-a)^2 + 25}$.

Okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny gdy: $d = r_1 + r_2$ lub $d = |r_1 - r_2|$.

Pierwszy przypadek: $\sqrt{(6-a)^2 + 25} = 3 + \sqrt{5}$, czyli $(6-a)^2 + 25 = 14 + 6\sqrt{5}$, stąd $(6-a)^2 = -11 + 6\sqrt{5} \approx 2,42$, czyli $6 - a = \pm\sqrt{-11 + 6\sqrt{5}}$, otrzymując $a = 6 \mp\sqrt{-11 + 6\sqrt{5}}$ (przy założeniu, że wyrażenie jest dodatnie).

Drugi przypadek: $\sqrt{(6-a)^2 + 25} = 3 - \sqrt{5}$ lub $\sqrt{(6-a)^2 + 25} = \sqrt{5} - 3$ (gdy $\sqrt{5} > 3$, co jest fałsze, więc ten podprzypadek odpada). Z pierwszego: $(6-a)^2 + 25 = 14 - 6\sqrt{5}$, czyli $(6-a)^2 = -11 - 6\sqrt{5} < 0$, brak rozwiązania.

Alternatywnie, uproszczona metoda: warunek $d = r_1 + r_2$ daje $(6-a)^2 = 14 + 6\sqrt{5} - 25 = -11 + 6\sqrt{5}$, czyli $a = 6 \pm\sqrt{-11 + 6\sqrt{5}}$; warunek $d = |r_1 - r_2|$ (gdzie $|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$) daje $(6-a)^2 = (3-\sqrt{5})^2 - 25 = 14 - 6\sqrt{5} - 25 < 0$, brak rozwiązania. Odpowiedź: $a = 6 - \sqrt{6\sqrt{5} - 11}$ lub $a = 6 + \sqrt{6\sqrt{5} - 11}$.