Matura z matematyki, maj 2019: zadania z rozwiązaniami

MatematykaMaj 20191 pktzamknięteśrednie 59%

Zadanie 1

Dla dowolnych liczb $x > 0$ , $x \ne 1$ , $y > 0$ , $y \ne 1$ wartość wyrażenia $\log_x y \cdot \log_y x$ jest równa A. $x \cdot y$ B. $x \cdot \frac{1}{y}$ C. $-1$ D. $1$

MatematykaMaj 20191 pktzamknięteśrednie 63%

Zadanie 2

Liczba $\cos^2 105° - \sin^2 105°$ jest równa A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $-\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

MatematykaMaj 20191 pktzamkniętełatwe 74%

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $y = f(x)$ , który jest złożony z dwóch półprostych AD i CE oraz dwóch odcinków AB i BC, gdzie $A = (-1, 0)$ , $B = (1, 2)$ , $C = (3, 0)$ , $D = (-4, -3)$ , $E = (6, 3)$ . Wzór funkcji $f$ to A.…

Materiał graficzny

MatematykaMaj 20191 pktzamkniętełatwe 71%

Zadanie 4

Zdarzenia losowe A i B zawarte w $\Omega$ są takie, że prawdopodobieństwo $P(B')$ zdarzenia $B'$ , przeciwnego do zdarzenia B, jest równe $\frac{1}{4}$ . Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B) = \frac{1}{5}$ . Wynika stąd, że A. $P(A \cap B) = \frac{1}{20}$ …

MatematykaMaj 20192 pktobliczeniowełatwe 67%

Zadanie 5

Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{9n^3 + 11n^2}{7 + 5n + 3n^2 + n^3} - \frac{2}{3n^2 + 1} \right)$ Wpisz w poniższe kratki – od lewej do prawej – trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

MatematykaMaj 20193 pktobliczeniowetrudne 36%

Zadanie 6

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

MatematykaMaj 20192 pktobliczenioweśrednie 47%

Zadanie 7

Punkt $P = (10, 2429)$ leży na paraboli o równaniu $y = 2x^2 + 2x + 2219$ . Prosta o równaniu kierunkowym $y = ax + b$ jest styczna do tej paraboli w punkcie P. Oblicz współczynnik b.

MatematykaMaj 20193 pktotwarteśrednie 40%

Zadanie 8

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ , takich że $x < y$ , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ , prawdziwa jest nierówność $\frac{x + a}{y} > \frac{y + a}{x}$ .

MatematykaMaj 20193 pktotwartetrudne 25%

Zadanie 9

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym $|AC| = |BC|$ . Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M ( $M \ne A$ i $M \ne C$ ), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że $|AM| = |CN|$ . Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy…

MatematykaMaj 20194 pktobliczeniowetrudne 31%

Zadanie 10

Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz $|AC| = 16$ , $|AD| = 6$ , $|CD| = 14$ i $|BC| = |BD|$ . Oblicz obwód trójkąta ABC.

MatematykaMaj 20196 pktobliczeniowetrudne 30%

Zadanie 11

Dane są okręgi o równaniach $x^2 + y^2 - 12x - 8y + 43 = 0$ i $x^2 + y^2 - 2ax + 2y + a^2 - 4 = 0$ . Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$ , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

MatematykaMaj 20196 pktobliczeniowetrudne 33%

Zadanie 12

Trzywyrazowy ciąg $(a, b, c)$ o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg $\left(\frac{1}{a+2}, \frac{1}{b}, \frac{1}{2c+3}\right)$ jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

MatematykaMaj 20196 pktobliczenioweśrednie 44%

Zadanie 13

Wielomian określony wzorem $W(x) = (x^3 + 3)(x^2 + m) + 2x^2 + (m^2 - 11)x + 2m + 1$ jest podzielny przez dwumian $(x - 2)$ oraz przy dzieleniu przez dwumian $(x + 1)$ daje resztę 6. Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x) \le 0$ .

MatematykaMaj 20194 pktobliczeniowetrudne 31%

Zadanie 14

Rozwiąż równanie $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin x + \sin x$ .

MatematykaMaj 20197 pktobliczeniowetrudne 34%

Zadanie 15

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $V = 2$ . Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.