Zadanie 8, maj 2019: matematyka rozszerzona

Polecenie

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ , takich że $x < y$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej

a

, prawdziwa jest nierówność

\frac{x + a}{y} > \frac{y + a}{x}

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcamy nierówność $\frac{x+a}{y} > \frac{y+a}{x}$

Schemat punktowania

3 pkt

pełne i poprawne uzasadnienie nierówności.

2 pkt

poprawne przekształcenie nierówności do postaci $(x-y)(x+y+a) > 0$ lub równoważnej, ale bez pełnego uzasadnienia.

1 pkt

Umiejętności w zadaniu

Przekształcenia równoważne Ćwicz podobne

do postaci równoważnej. Mnożymy obie strony przez

xy > 0

:

x(x+a) > y(y+a)

. Rozwijamy:

x^2 + ax > y^2 + ay

. Przenosimy:

x^2 - y^2 + a(x - y) > 0

. Rozkładamy:

(x-y)(x+y) + a(x-y) > 0

. Wyciągamy wspólny czynnik:

(x-y)(x+y+a) > 0

. Ponieważ

x < y

, to

x - y < 0

. Aby iloczyn był dodatni, musimy mieć

x+y+a < 0

, co jest fałszem dla dodatnich liczb. Zamiast tego:

(x-y)(x+y+a) > 0

przy

x < y

oznacza, że

(y-x)(x+y+a) > 0

, czyli

x+y+a > 0

, co jest prawdą dla

x,y,a > 0

.

poprawne pierwsze kroki przekształcenia nierówności.

0 pkt

brak postępu lub błędne rozwiązanie.