Zadanie 9, maj 2015: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

,

Q

,

R

,

S

(zobacz rysunek).

Wykaż, że na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Oznaczenie: $\angle BAP = \angle PAD = \alpha$ , $\angle CBP = \angle ABP = \beta$

Schemat punktowania

1 pkt

wprowadzenie oznaczeń kątów i wyrażenie pozostałych kątów czworokąta $ABCD$ za pomocą $\alpha$ i $\beta$ .

2 pkt

obliczenie dwóch przeciwległych kątów czworokąta $PQRS$

Umiejętności w zadaniu

.

Z własności czworokąta wpisanego: $\angle BCR = \angle DCR = 90° - \alpha$ , $\angle CDR = \angle ADR = 90° - \beta$ .

Obliczyć kąty przeciwległe czworokąta $PQRS$ :

$\angle AQD = 180° - \alpha - \beta$

$\angle BSC = 180° - (90° - \alpha) - (90° - \beta) = \alpha + \beta$

Suma: $\angle PQR + \angle PSR = (180° - \alpha - \beta) + (180° - \alpha - \beta) = 360° - 2\alpha - 2\beta$

Albo: wykazać, że $\angle SPQ + \angle SRQ = 180°$ , co dowodzi, że czworokąt jest cykliczny.

.

3 pkt

wykazanie, że suma kątów przeciwległych czworokąta $PQRS$ wynosi $180°$ .