Zadanie 10, maj 2015: matematyka rozszerzona

Polecenie

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $|AB| = 2$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

,

|BC| = 3

,

|CD| = 4

,

|DA| = 5

. Na czworokącie

ABCD

opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej

AC

tego czworokąta.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Wykorzystać twierdzenie Ptolemeusza: $|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |DA|$

Schemat punktowania

1 pkt

zastosowanie twierdzenia Ptolemeusza lub twierdzenia cosinusów i zidentyfikowanie warunku cykliczności.

2 pkt

zapisanie warunków dla obu trójkątów i wykorzystanie zależności między kątami.

3 pkt

rozwiązanie równania i uzyskanie wartości $|AC|^2$ lub $|AC|$ .

Umiejętności w zadaniu

.

Zastosować twierdzenie cosinusów w trójkątach $ABC$ i $ACD$ z warunkiem, że czworokąt jest cykliczny (kąty przeciwległe sumują się do $180°$ ).

Z trójkąta $ABC$ : $|AC|^2 = 4 + 9 - 12\cos B = 13 - 12\cos B$

Z trójkąta $ACD$ : $|AC|^2 = 16 + 25 - 40\cos D = 41 - 40\cos D$

Warunek cykliczny: $\cos D = -\cos B$

Rozwiązanie: $|AC| = \sqrt{\frac{117}{5}}$ lub $|AC|^2 = \frac{117}{5}$

4 pkt

poprawna odpowiedź w uproszczonej postaci.