Zadanie 13, maj 2015: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=(m+1)x^2+(2m-1)x+(m+4)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których trójmian

f

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_1, x_2

, spełniające warunek

x_1^2-x_2^2=4x_1-4x_2

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Założenie: $m\neq -1$

Warunek na deltę: $\Delta=8m^2-28m+4>0$

Schemat punktowania

1 pkt

rozwiązanie nierówności $\Delta>0$ : $m\in(-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{7}{2},+\infty)$

Komentarz

Zdający nie musi rozwiązywać nierówności $\Delta>0$ , o ile sprawdzi, dla których wartości $m$ trójmian ma pierwiastki.

Umiejętności w zadaniu

, czyli

(4m-2)(2m-7)>0

, stąd

m\in(-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{7}{2},+\infty)

Zawiera: $D=(-\infty,-1)\cup(-1,\frac{1}{2})\cup(\frac{7}{2},+\infty)$

Przekształcenie: $(x_1-x_2)(x_1+x_2-4)=0$

Stąd: $x_1\neq x_2$ lub $x_1+x_2=4$

Z Viete'a: $x_1+x_2=-\frac{2m-1}{m+1}=4$ daje $2m-1=4(m+1)$ , czyli $m=2$

Sprawa druga: $(x_1-x_2)^2=4(x_1-x_2)$ , czyli $(x_1-x_2)(x_1-x_2-4)=0$

$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(x_1+x_2)^2-16(x_1+x_2)+64$

Otrzymujemy równanie: $5m^2-24m+7=0$

Rozwiązania: $m=\frac{5\pm\sqrt{109}}{12}$

Sprawdzenie: $m=2\notin D$ , $m=\frac{5+\sqrt{109}}{12}\in D$

.

2 pkt

rozwiązanie warunku: zapisanie równania $(x_1-x_2)(x_1+x_2-4)=0$ lub równoważnego.

3 pkt

rozwiązanie obu warunków: $m=2$ oraz $m=\frac{5\pm\sqrt{109}}{12}$ z założeniem $m\neq -1$ .

1 pkt

wyznaczenie szukanej wartości spełniającej nierówność $\Delta>0$ .