Zadanie 8, maj 2015: matematyka rozszerzona

Polecenie

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^4 - x^2 - 2x + 3 > 0$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Sposób I: Przekształcić do postaci $(x^2 - 1)^2 + (x-1)^2 + 1 > 0$

Schemat punktowania

1 pkt

wykazanie przekształcenia wyrażenia do postaci zawierającej sumę składników nieujemnych lub przeprowadzenie pierwszych kroków dowodu.

2 pkt

przeprowadzenie większości rozumowania, ale z luką w uzasadnieniu lub błędem.

3 pkt

pełne i poprawne rozumowanie.

Umiejętności w zadaniu

Dowodzenie monotoniczności funkcji Ćwicz podobne

i wykazać, że suma trzech składników (z których dwa są nieujemne, a trzeci dodatni) jest dodatnia.

Sposób II: Przekształcić nierówność do postaci $(x-1)^2(x^2+1)(2x+2)+1 > 0$ lub podobnej, wykazując dodatniość lewej strony.

Sposób III: Obliczyć pochodną $f'(x) = 4x^3 - 2x - 2$ , znaleźć pierwiastek $f'(1) = 0$ , rozłożyć i wykazać, że $f$ osiąga minimum w $x=1$ równe 1.