Matura z matematyki, maj 2015

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 98%

Zadanie 1

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $|x - 8| \le 10$. Stąd wynika, że A. $k = 2$ B. $k = 4$ C. $k = 5$ D. $k = 9$

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie 61%

Zadanie 2

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{dla} & x \le 0 \\ 3x + 4 & \text{dla} & x > 0 \end{cases}$$Równanie$f(x) = 1$ ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. cztery rozwiązania. D. pięć rozwiązań.

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 88%

Zadanie 3

Liczba $(\sqrt[3]{3} - 2)^3$ jest równa A. $27 - 3\sqrt[3]{24}$ B. $135 - 30\sqrt[3]{3}$ C. $135 - 78\sqrt[3]{3}$ D. $135 - 30\sqrt[3]{3}$

MatematykaMaj 20151 pktzamknięteśrednie 59%

Zadanie 4

Równanie $2\sin x + 3\cos x = 6$ w przedziale $(0, 2\pi)$ A. nie ma rozwiązań rzeczywistych. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

MatematykaMaj 20151 pktzamkniętełatwe 89%

Zadanie 5

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu $y = 2x + 4$ jest równa A. $\frac{5}{5}$ B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ C. $4\sqrt{5}$ D. $4$

MatematykaMaj 20152 pktobliczeniowełatwe 86%

Zadanie 6

Oblicz granicę $$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + 6n^2 + 11n + 5}{4n^3 + 5n - 1} - \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - 6}$$ W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

MatematykaMaj 20152 pktobliczenioweśrednie 63%

Zadanie 7

Liczby $(-1)$ i $3$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz $\frac{f(6)}{f(12)}$.

MatematykaMaj 20153 pktotwartetrudne 22%

Zadanie 8

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^4 - x^2 - 2x + 3 > 0$.

MatematykaMaj 20153 pktotwarteśrednie 41%

Zadanie 9

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P$, $Q$, $R$, $S$ (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20154 pktobliczeniowetrudne 37%

Zadanie 10

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $|AB| = 2$, $|BC| = 3$, $|CD| = 4$, $|DA| = 5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

MatematykaMaj 20154 pktobliczenioweśrednie 58%

Zadanie 11

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co…

MatematykaMaj 20154 pktobliczenioweśrednie 52%

Zadanie 12

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=x^3-2x^2+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które są równoległe do prostej o równaniu $y=x+4$.

MatematykaMaj 20155 pktobliczeniowetrudne 23%

Zadanie 13

Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=(m+1)x^2+(2m-1)x+(m+4)$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$, spełniające warunek $x_1^2-x_2^2=4x_1-4x_2$.

MatematykaMaj 20155 pktobliczeniowetrudne 24%

Zadanie 14

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa.

MatematykaMaj 20156 pktobliczeniowetrudne 19%

Zadanie 15

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu $W(x)=x^3+ax^2+bx+c$ jest równa $0$. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej $3$. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

MatematykaMaj 20157 pktobliczeniowetrudne 35%

Zadanie 16

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie $20$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.